[计算机组成原理] 用数学浅谈浮点数

浮点数很神奇，Prof. Kahan是个鬼才。可以说浮点数的诞生很大程度上推动了计算机的发展。

浮点数的概况

​ 在计算机中，浮点数主要以科学计数法存储，其科学计数法底数为2，于是一般而言：浮点数分为三个部分，符号域（Sign），指数域（Exponent），尾数域（Fraction）。 分别对应科学计数法的有效数字的符号，有效数字的指数，有效数字的小数部分。

浮点数的指数域

​ 为了让浮点数的比较能够由整形的比较器完成，其指数采取移码来表示，（移码和补码只有符 号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码、反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1（不包括符号位）） 形象地来来说移码是原码的移动，在数值上移码等于原码减去2^(k-1)-1,k是位数。但是并不是所有的浮点数都采取此种表示方法。有一小部分浮点数的指数域， 与之不同，我们在后面说。

浮点数的尾数域

​ 为什么叫尾数域，而不叫有效数字域，其实很容易想到二进制的科学计数法的整数部分必然是1，于是这个1被省略掉了，计算机不存储他。

浮点数中的特例

​ 如果我们真的像刚刚分析的那样，结束了浮点数的定义，会有一个问题，那就是0不见了，并且靠近0的一小部分有一个巨大的gap，我们后面在证明这个gap存在，于是我们的浮点数设计失败， 但是Prof. Kahan想到了一个解决方法，他发现当指数域的指是一个最小的负数的时候，当前浮点数所表示的数非常小，与0很接近，并且那一部分的精度非常高，精度高，但是靠近0的地 方有一个巨大的gap，怎么办？他考虑到，用一部分高精度的丢失换取gap的填充。也就是说，当指数部分是最小的负数的时候，我们不采取科学计数法了，当指数域为最小的负数 的时候，我们把尾数域看作一个无符号整形，他会可以表示一个整形区间，我们hash掉这个区间，让他来表示gap即可。后面来证明这个做法的可靠性。

​ 既然花了一部分指数域做了一个0，为什么不来一个无穷大呢？于是Prof. Kahan创建了无穷大的表示方法，当指数部分是最大的正数的时候，此数字表示无穷大怎么样？若符号域为正，我们表示 正无穷，若符号位为负，我们表示负无穷怎么样？于是我们发现我们思维的漏洞了，刚刚的0，岂不是有+0与-0？是的就是有，等下我们证明他的合理性。 再回到无穷上，我们与0的表示做对比，发现了指数固定的时候可是一个区间啊，有很多的无穷大，是啊，我们要不了这么多无穷大，那怎么办呢？于是Prof. Kahan说多余的他们都叫做 nan，意味着not a number。我们依然在后面证明这个做法的优点很大很大。

浮点数的具体表示

​ 这些都是理论指导，实际上浮点数到底怎么存的呢？见图 （照片丢了，我也没找到）

浮点数的相关证明：gap存在性

​ 给出特例，对于单精度浮点而言，我们先考虑浮点数的表示精度问题，如果放开指数不谈，令指数为0 ，那么我们可以表示出大致区间[1,2)，如果指数为1，我们又可以表示区间[2,4) 等等。。。 我们仔细分析，这里的区间长度是变化的，但是表示这段区间的数的数量是固定的。显然一个问题出现了，我们可以大胆猜测，指数越大，精度越低，我们把几个区间都写一下 当指数为-2 -1 0 1 2 分别表示了区间[1/4，1/2）[1/2，1）[1，2）[2，4）[4，8），是的，区间长度递增，猜测正确。

​ 然后我们还发现，精度是有规律的，同一个区间的精度固定，因为尾数是平分区间的，不同区间的精度怎么样呢？我们来看看，[1，2）的精度是[2，4）的精度的两倍， 于是我们得到精度的详细情况，离0越远的区间，精度越低，且是他的前一个区间的精度的一半，（定义一个区间的前一个区间为与之相邻的离0更近的区间）

​ 我们再来考虑最小的正浮点数，在什么地方，对的，就是\(2^{-127}\)，我们假设这个数为x，他右边部分的精度达到了\(\frac{2^{-126}-2^{-127}}{2^{23}}=2^{-150}\)在x的左侧呢，哈哈一个gap，他与0之间相隔\(2^{-127}\)，\(2^{-150}\) 和\(2^{-127}\) 区别可大了，负数那边也是样的。

浮点数的相关证明：gap填充的可靠性

​ 如果考虑不要精度为\(2^{-150}\)的区间的，用它来填补gap，代价是什么？会不会导致浮点数优秀的精度递增模式被打破呢，很遗憾不会。我们来计算，如果考虑丢弃此区间 换来的最小的正科学计数法所表示的浮点数的值为\(2^{-126}\) ，因为区间\([2^{-127} ，2^{-126})\) 拿走了，这时候他右边的精度为\(\frac{2^{-125}-2^{-126}}{2^{23}}=2^{-149}\)，emm，还行，我们来计算那个究极大gap的精度，\(\frac{2^{-126}}{2^{23}}=2^{-149}\)奇迹出现了，精度一摸一样，精度的优秀性质基本得到了保留，这种做法使得从0到正无穷的过程中没有变小。很神奇。

浮点数的相关证明：+0与-0的优点

​ 为什么要搞+0和-0，这两者不是相同的吗？是的他们是相同的，+0.0==-0.0 返回值是true ，这个时候我们开始思考0的意义，0到底是什么，我们参考无穷大，重新定义0，+0.0代表正无穷小 -0.0代表负无穷小，这才是他们本质上的意义，sorry，我们又把0给弄没了。这次我们不把它找回来了，+0.0和-0.0共同组成了0。为什么要这样做，还有一个额外的点，我们的数域里面可是有正负 无穷大的，我们，要搞在浮点数里面搞一套新的，特别的运算法则，极限的运算。这是他的另一个点。

浮点数的相关证明：nan的实用性

​ 为什么要搞nan，这是给程序员用的，哈哈哈哈哈哈嗝，哈哈嗝，用来debug，但笔者不太懂一点，为什么要搞那么多nan呢，指数最大值的时候，除了正负无穷，其他的数字都是nan，为什么要这么复杂呢？ 限于水平，笔者大致猜到了，极有可能，不正确的运算直接会算出nan，这会加速浮点数的运算，（也就是说，不需要我们自己去做判断是否运算合法）（也就是说浮点数的运算不是封闭的，错误 或者不合法的运算会直接算出nan，而不是计算机去判断运算是否合法）这只是笔者的一个猜想。

浮点数细节:

​ 若x为nan ，那么x==x为假 x不管之后怎么运算，得到的永远是nan +0.0 == -0.0 为真