当...9999999999=-1时：10进数的奇怪世界

数学家为什么会这样呢？

您听说过 10 进数吗？

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你能想到的最大数字是多少？古戈尔？树（3）？十四？ 

无限个 9 怎么样？不，我们不是在开玩笑——在高等数学中，这不仅是一个合法的可能答案，而且也是一个非常糟糕的答案。为什么？因为无数个9实际上等于负1。它根本不是很大。

好吧，让我们解释一下。

计数速成班

除非您是在古巴比伦或巴布亚新几内亚西北部阅读本文，否则您的首选数字系统实际上保证是十进制或十进制。

这在实践中意味着——嗯，这是一个非常基本的东西，自从你在学前班第一次学习数字以来，你可能没有真正考虑过它。我们使用十个单独的符号进行计数 - 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 和 9 - 当这些符号用完时，我们只需再次回到起点，这次使用前缀“1” ”提醒自己我们已经完成了整组一次。 

如果我们继续这样计数，我们可能会发现自己必须将该前缀更改为“2”、“3”，最终更改为“9”。我们甚至可能达到 99——这意味着我们已经把所有十位数字数了十次——到那时，我们只需再次升级，添加第二个“1”前缀，并再次从 100 开始。

现在，这是第一个原理的解释，但它并不是真正最有用的 - 所以，我们不要从加法的角度来考虑我们的数字，而是让我们转向乘法。现在我们应该如何理解十进制系统？

事实上，它相当简单。例如 12,345 这样的数字可以被视为五个数字的总和：1 × 104、2 × 103、3 × 102 、4 × 101 和 5 × 100 - 这些指数或幂高于 10，指的是我们将 10 乘以多少次。它比加一万二千三百四十四次要容易得多，而且还让我们可以做一些非常酷的事情——它让我们进入小数的世界。

大于零，小于一

自从两个穴居人第一次看到一块美味的猛犸象肉并决定有比战争更好的解决方案来解决他们的问题以来，我们就需要分数数量的概念。对于相当多的西方历史来说，这些分数——像 1/2 或 1/3 这样的数字，是通过将你想要除的东西的数量设置在你想要除的东西的数量上而形成的——是唯一的方法我们必须表达它们。

然而，其他文化在这方面表现得更聪明。在中国、伊斯兰世界，甚至古代美索不达米亚，数学家们已经找到了一种将分数表示为十进制展开式的方法——现在我们已经了解了如何创建十进制数，我们也可以。

那么：与其将我们的索引限制为非负数，不如将它们扩展为包含小于零的数字呢？换句话说，10-1 是什么？

在分数中，一旦你知道了规则，这就很简单：当你在索引中看到减号时，它只意味着“一除以这个数字”。例如，10-1 等于 1/10； 10-2等于1/102； 10-163 等于 1/10163。 

但是，如果我们选择采用以 10 为基数的书写方式并将其向相反方向扩展会怎样呢？基本上，如果 12,345 表示 1 × 104 + 2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100，那么我们可以在 100 项后面保留小数点，并根据需要继续下去：例如 12,345.6789，则等于 1 × 104 + 2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 + 6 × 10-1 + 7 × 10-2 + 8 × 10-3 > + 9 × 10-4。

这些数字最酷的一点是它们可以永远持续下去——并带来一些意想不到的结果。最著名的违反直觉的事实之一是 0.999……——数学上的意思是“无数个 9，但我们没有时间把它们全部写出来”——等于 1。

不，不近似相等。从字面上看，完全相等。

什么是 10 进数？

现在，您可能已经看到“0.999…=1”并想，“不，这对我来说已经够奇怪的了”——你知道吗？这很公平。但如果您像数论学家一样渴望了解更多，那么请允许我们向您介绍 10 进数的世界。

10进数背后的基本思想是这样的：如果我们不是像这样无限地向右扩展十进数，而是向左扩展它们会怎么样？是否有某种方式可以让诸如……999（即 9 + 90 + 900 + 9000 + 90,000 等等）这样的数字有意义？

好吧，让我们从重复的小数中得到线索。还记得 0.999…=1 吗？我们可以使用以下简洁的小论证来证明这一点：首先，请注意 

0.999…×10=9.999…。

然后，将其中一个减去另一个即可看到 

0.999…×10 - 0.999…×1=9.999…-0.999…

                 =9。

换句话说，

0.999…×(10 – 1)=0.999…×9=9，

这意味着 0.999…=1。

明白了吗？伟大的！现在让我们将相同的参数应用于 10 进数，看看会发生什么。我们有：

…999 × 10=…9990。

在这种情况下，从另一个中减去一个可以得到 

…999 × 10 - …999 × 1=…9990 - …999

                                            =-9

但这意味着 

…999 × (10 – 1)=…999 × 9=-9，

这意味着——等等，这不可能是正确的：

…999=-1。

奇怪的数学

好吧，乍一看，似乎非常明显的是，永无休止的一排 9 根本不可能等于负数。但我们敢于让你证明我们错了——看：

……99999  

0000001 +

尝试将两者相加，您将被锁定在无限行重复的零中 - 换句话说，零本身。如果…999 + 1=0，则…999=-1。

现在，人们很容易在这里停下来说：“好吧，如果数学就是这么说的，那么显然数学是无稽之谈。 ”但是我们有办法让它变得有意义吗？事实上是有的——而且，就像我们升级发现十进制扩展一样，需要一些横向思维才能到达那里。

所以：让我们想想当我们说“接近于零”时我们的意思是什么。通常，我们会进行加法思考，对吗？数字 5 就是它的大小，因为它距离零有五个单位长度；数字 13 距 0 十三个单位长度；数字 18.75 距离零有十八又四分之三单位长度。

这是一种非常自然的思考距离的方式，从现在开始我们将完全忘记它。相反，让我们以乘法的方式思考，并根据 10 的因式分解来考虑数字。

让我们从零开始，因为这是我们测量的数字。在整数的世界中，零是所有数字中最可整除的——你可以将任何数字除以它，并且它会很好地工作（只是不要尝试相反的方式）。 

现在让我们考虑几个例子：比如说 30 和 1,000,000。在留下整数之前，我们可以将 30 除以 10 一次——另一方面，1,000,000 可以除以 10 六次。因此，从某种意义上来说，我们可以说 1,000,000 比 30“更接近于零”——就可整除性而言，它更接近于零。

它可能看起来不直观，但你可以——而且人们已经——证明它是一个完全合理的数学度量。我们所要做的就是设置以下规则：

如果 a 最多可以除以 10 k 次且仍为整数，则设置 |a|ten=1/10k。

将其应用到…999，我们现在可以看到这个数字确实越来越接近负数。毕竟，我们有： 

|9|=|10 -1|=0.1 – 1=-0.9

|99|=|100 -1|=0.01 – 1=-0.99

|999|=|1,000 -1|=0.001 – 1=-0.999

|9,999|=|10,000 -1|=0.0001 – 1=-0.9999

等等。我们也可以将这个想法扩展到分数：例如，我们可以通过询问“什么 10 进数乘以 3 时得到 1？”来得到 1/3？ “我们会省去你的工作，但你可以自己检查一下答案是……6667——也就是说，无数个六后面跟着一个最后的七。

一切看起来都很棒，对吧？

一个问题

你认为“第一”分数是什么？比如，最基本的？一半？

10进数的二分之一是多少？

按照与上面相同的逻辑，我们正在寻找一个 10 进数，当你将它乘以 2 时，得到 1。问题是：不存在这样的数字。

如果你尝试除以五，同样的问题也会出现——你现在可能知道原因是什么了。基本上，10进数存在以下问题：10非质数：它等于 2 和 5 的乘积，这会导致一种奇怪的情况，您可以将两个非零数相乘10进数系统并得到零结果。 

解决方案是，按照真正的数论风格，仅将素数视为 p 进元数的基础 - p 这里代表“素数”。通过这样做，您可以避免这些问题，并可以随心所欲地使用这些无限长的数字。

但你为什么要这么做呢？嗯，p-进数可能很奇怪，但它们已被用来解决数学史上一些最著名的问题 - 即费马大定理。它们对于丢番图分析等古代问题和量子力学等现代问题都很有用。大多数情况下，它们只是一种解决问题的巧妙方法，而使用我们正常的、无聊的数字系统会更困难。

或者，更诗意地引用日本数学家 Kazuya Kato 的话：“实数就像太阳，p-adics 就像星星。白天太阳遮挡了星星，而人类在晚上睡觉时看不到星星，尽管它们同样重要。 ”