为什么斐波那契数列在自然界中如此频繁出现？

非理性背后的理由。

向日葵是自然界中斐波那契数列的一个著名例子。

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很少有数字序列能像以意大利数学家列奥纳多·斐波那契 (Leonardo Fibonacci) 命名的数字序列一样著名。这是有充分理由的：从一个相对简单的公式来看，这组数字似乎涉及生活的方方面面——不仅是数学，还包括我们周围的自然世界。

这看起来很奇怪，对吧？为什么一个由常规二元运算控制的特定数字序列会出现在自然界中？ 

答案比你想象的更聪明。

什么是斐波那契数列？

如果“斐波那契”这个名字没有让你印象深刻，那么请回想一下你在数学课上看到的第一个“棘手”数字序列。事情是这样的：

如果你不太明白其中的规则是什么，那就是：每个新数字只是它前面两个数字的总和。中世纪的印度学者试图找出诗歌的理想节奏，这或多或少也是首次发现它的方式。

然而在西方，这个序列又需要几个世纪才能出现——而且当它出现时，也不是简单相加的结果。事实上，它更多地与乘法有关。

“斐波那契（1202 年）研究的最初问题是兔子在理想情况下繁殖的速度有多快，”罗恩·诺特 (Ron Knott) 博士解释道。英国萨里。

“假设将一对刚出生的兔子，一只雄性，一只雌性，放在田野里，”他回忆道。 “斐波那契提出的难题是……一年内会有多少对？ ”

现在，你必须做出一些假设才能使其发挥作用，这就是为什么问题的解释者通常指出这是一个“理想化”的场景，即生物学上不现实的场景。首先，忽略兔子会死的事实——出于本练习的目的，它们不会死。然后，我们必须假设兔子不仅能够在一个月大时生下孩子，而且绝对肯定会生下这些孩子。哦，忘了你所知道的关于近亲繁殖的一切吧。

然后，诺特解释说，“在第一个月末，它们交配，但仍然只有一对。 ”

“第二个月末，雌性兔子产下了一对新兔子，所以现在田野里有两对兔子，”他继续说道。 “在第三个月末，原来的雌性产下了第二对，这样田野里总共就有三对。 ”

“第四个月末，原来的雌性又产下了一对新的，两个月前出生的雌性也产下了第一对，一共五对。 ”

以这种方式持续下去，直到第十二个月末，此时将有 144 只兔子快乐地跳来跳去，或者更确切地说，72 只快乐地跳来跳去，还有 72 只怀孕了，可能相当疲倦。每月总计的顺序如下所示：

看起来很眼熟吗？

非理性的衡量标准

从一开始，斐波那契数列就与自然世界有着内在的联系。但它出现在的地方远不止兔子种群：你可以从花朵上的花瓣数量和松果的苞片中看到序列；在树枝和花椰菜小花的漩涡中；从最小的蜗牛壳到最宏伟的设计螺旋星系。

问题是：为什么？为什么这个特定的数字序列——不是你能想到的最简单的数字序列，但也不是那么复杂——对自然世界如此重要？ 

答案的很大一部分可以通过称为丢番图近似的数学领域来解释。简而言之，它是对无理数的研究，其中的一些结论可能会让您感到惊讶。

例如，考虑“最无理数”。很可能，如果被问到哪个数字比其他数字更无理数，你要么认为这是一个把戏，而这个问题是无稽之谈，要么你会选择像 pi 这样的数字——不仅是无理数，而且是超验的，而且计算机科学家和数学家似乎对这个话题有着无尽的兴趣。

但事实上，最无理数是更端庄的东西：它是 φ – 发音为“phi ”，并且用数字写成这样：

现在，可以公平地说，这个数字看起来并不那么独特或有趣——那么是什么让它成为“最不合理的”呢？好吧，答案归结为我们可以使用有理近似来达到多接近它——根据记录，这“根本不是很接近。 ”

作为解释，让我们看一下 π。您可能曾经被告知它大约等于 22/7，这是事实：这就是数学家所说的数字的二次收敛，它只比 pi 的真实值高 0.04%。第三个收敛值 333/106 的误差小于 0.003%，第四个收敛值 355/113 只比 pi 的真实值高 0.00008%。

虽然没有任何一个整数能够准确地描述 pi，但我们可以肯定地看到，某些组合可以非常接近它。但对于 phi 来说，情况并非如此——相反，无论您在收敛列表中走多远，您可以到达的距离总是受到限制该数字的真实价值与您投入的工作量相比。

但这就是有趣的地方。 phi 的收敛点——通常被称为“黄金比例”——好吧，让我们看看你是否认识它们：

数学的本质

现在，你可能会想，大自然对高级数论一无所知，这一切肯定都是巧合，这是可以理解的。但我们保证，事实并非如此：“在包括植物在内的许多生物体中发现的斐波那契式模式和比率确实与斐波那契数列相关，”天体物理学家和科学传播者伊森·西格尔在今年早些时候的一篇文章中证实，“无论是在数学上严格的方式，还是出于完全合理的进化原因。 ”

所以，想想植物上的叶子。植物的能量来自太阳，因此它生长的目标是最大限度地让叶子接触阳光。最明显的方法是确保新叶子从前一片叶子的茎周围长出一点点——但它应该长到多远呢？

好吧，让我们尝试一些例子。半途而废是不行的；当你长出第三片叶子时，它将位于第一片叶子的正下方，并且看不到阳光。对于三分之一、四分之一或五分之一的周围也是如此——事实上，周围的任何有理分数最终都意味着一片叶子完全处于另一片叶子的阴影下。

因此，答案一定是追求革命的非理性部分——而最好的一定是最非理性部分。正如我们所看到的，达到该特定值的最佳方法是使用斐波那契数（毕竟，从物理角度来说不可能完全做到这一点）。

“如果你继续以相对于前一片叶子的关键角度[……]放置叶子，你最终会得到形成斐波那契螺旋的叶子图案，”西格尔解释道。 “同样的数学特性被编码到菠萝、松果等中，解释了为什么生物有机体经常显示斐波那契数列中的数字。 ”

因此，斐波那契数的普遍存在不仅仅是巧合——它是自然界完美进化的优化算法的结果。 

只有一个警告：有时，这确实只是巧合。

“虽然自然界中有许多螺旋形状是由纯粹的物理、非生物过程产生的——从水体中形成的漩涡和漩涡，到飓风云和清澈车道的空中形状——但这些螺旋都不是斐波那契式的，当它涉及到它们结构的实际数学细节，这是持续的基础，”西格尔指出。 

“你也许可以拍一张‘快照’，其中一个或多个特征表现出的比率与斐波那契数列中特定时刻的比率一致，但这些结构不会持久和持续。 ”

“在大多数螺旋星系中看到的斐波那契式模式是我们眼睛的发明，而不是宇宙的物理事实。 ”