= 是什么意思？数学家不确定——这可能是一个问题

数学家：自公元前 624 年起即兴发挥。

这是什么意思？

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1912 年，哲学家伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 和阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead) 做了一件他们认为以前从未有人做过的事情：他们证明了 1 + 1=2。

他们花了整本书的时间来完成这件事，再加上第二卷的 80 多页。一个理智的人可能会得出这样的结论：这有点矫枉过正了。然而，在所有这些工作中，有一件事两人出人意料地马虎：他们从未定义“=”的含义。 

但当然，他们为什么要这样做呢？大家都知道“等于”是什么意思；这就像你在学前数学中学到的第一件事！除此之外，就像 1 + 1 一样，数学等式的概念远非简单或普遍——这正在成为一个大问题。

“等于”是什么意思？

现在，请不要误会我们的意思：普通数学家对“=”的理解与您几乎相同 - 尽管其中多了一些行话。

“x=y 的含义是，x 和 y 是同一个相同对象的两个名称，”逻辑学家和数论学家 John Barkley Rosser 在他 1953 年的教科书数学家逻辑中写道。 “我们对对象的性质没有限制，因此我们不仅像数学中常见的那样在数字之间平等，而且在集合之间、函数之间，甚至任何逻辑对象的名称之间都平等。 ”

这很模糊，但可行。当我们试图向计算机科学家，或者更糟糕的是，向计算机本身解释这一点时，问题就出现了。

“多年前，计算机科学家[...]分离出几种不同的平等概念，并且对这个主题有深刻的理解，”伦敦帝国理工学院代数数论学家兼纯数学教授凯文·巴扎德（Kevin Buzzard）写道，在最近发布到预印本服务器 arXiv 上的关于该概念的讨论论文中。例如，输入计算机代数系统的三字符串“2 + 2”不等于系统输出的单字符串“4”；某种“处理”已经发生。计算机科学家可能会说，虽然数字 2 + 2 和 4 相等，但项却不同。 ”

“另一方面，数学家非常擅长内化处理过程，但过了一段时间，就会忽略它，”巴扎德继续说道。 “在实践中，我们相当宽松地使用平等概念，依赖于某种深刻的直觉，而不是我们中的一些人认为我们实际上正在其中工作的逻辑框架。 ”

作为同构的平等

平等的基本概念可以追溯到……好吧，可能就数学本身而言——但如果你要求一位现代数学家更深入地研究这个词的含义，他们很有可能会尝试用某种东西来解释它称为“同构”。 ”

同构源自古希腊语，意思是“同等形式”，基本上只是从一种数学结构到另一种相同类型的数学结构的一种方式。它有一些规定——例如，它必须是可逆的和双射的——但除此之外，它们可以令人惊讶地基于振动。数学家无法区分甜甜圈和咖啡杯的老笑话背后的概念并非毫无道理：这两种形状在拓扑上是同构的，因此在某种程度上，是同一件事。

“同构就是平等，”诺丁汉大学计算机科学教授 Thorsten Altenkirch 本月早些时候告诉《新科学家》。 “我的意思是，还有什么？如果你无法区分两个同构对象，那还会是什么？您还可以将这种关系称为什么？ ”

“等于”在数学中的其他用法同样模糊。 Buzzard 的论文基于他在 2022 年数理逻辑和哲学会议上发表的演讲，涵盖了一些最令人震惊的违规者：例如，在“[亚历山大]格洛腾迪克的开创性著作中……他和迪厄多纳在其中发展了现代数学的基础”在代数几何中，”他指出，““canonique”这个词出现了数百次[…]，但从未提供过定义。 ”

“当然，我们当然知道格洛腾迪克的意思，”他补充道。但是“[交互式定理证明者]Lean 会告诉 Grothendieck 这个等式根本不是真的，并且会顽固地指出任何使用它的地方。 ”

这是现代数学现状的二分法。随着越来越纯粹的领域在现实世界中找到应用，数学家和计算机科学家比以往任何时候都更加依赖人工智能和计算机来为他们的工作提供信息。但这些机器不能依赖人类数学家已经逐渐接受的直觉：“作为一名数学家，你在某种程度上非常清楚自己在做什么，所以你不必太担心，”克里斯·伯克贝克（Chris Birkbeck），东安格利亚大学数论讲师告诉新科学家。 “一旦你有一台计算机检查你所说的一切，你就不能再含糊了，你真的必须非常精确。 ”

平等问题

那么，数学家要做什么呢？毕竟，很难想到比在数学语句中没有“=”的定义更根本的问题了。

嗯，有两种可能的选择。一种解决方案可能是彻底改革数学本身，或许可以通过将相等重新定义为同一件事——人们可能会说“等于”——规范同构。但这可能只是在转移问题，巴扎德警告说：“[数学家]戈登詹姆斯告诉我，他曾经问约翰康威[规范]这个词是什么意思，康威的回答是，如果你和办公室里的人在你们旁边写下一张从A到B的地图，这是同一张地图，那么这张地图就是规范的，”他写道。 “这可能是一个很好的笑话，但这不是一个很好的定义。 ”

巴扎德建议，或者，可能需要培养一类新的数学家——那些能够“填补目前困扰该学科的漏洞”的人。他认为，这种方法的优点至少是实用的：“改变数学家是非常困难的，”他告诉《新科学家》。 “你必须让计算机系统变得更好。 ”

不管怎样，数学似乎应该重新思考——对于那些对计算机辅助证明前沿感兴趣的人来说，越早越好。确定“等于”的定义似乎是一个基本问题，但它最终可能会对我们未来的世界产生深远的影响——毕竟，正如罗素和怀特海在 100 多年前的那个开创性证明后指出的那样，“命题[1 + 1=2] 偶尔有用。 ”