价值百万美元的数学难题距离答案又近了一步

这是一个被描述为“耸人听闻”的结果。

黎曼 zeta 函数沿临界线的极坐标图。每次曲线到达原点时，zeta 函数就为零

图片来源：Linas Vepstas/Geek3，（CC BY-SA 3.0）来自维基共享资源，由 Science-News.dev 修改

数学中很少有像黎曼猜想这样顽固的问题。这个问题于 1859 年首次提出，一些最敏锐的数学家已经进行了数十次尝试来解决这个问题，但都未能成功。 

因此，当假设的结果确实出现时，往往会有点……偏离正轨。数学家不会正面解决这个问题——事实上，即使在今天，他们甚至不知道从哪里开始——所以相反，他们回答其他较小的相关问题。他们希望回答足够多的问题，也许有一天它会成为黎曼最初陈述的证明。

但不幸的是，即使是这些小步骤也很少见。因此，当两位数学家在 5 月份发表了一篇新论文，声称改进了已经坚持了 80 多年的假设的结果时，它在数学界引起了一些真正的兴奋也就不足为奇了。

那么……有什么大不了的？

什么是黎曼猜想？

有两种方法可以回答“什么是黎曼猜想？”这个问题。 ”，而你得到哪一个取决于你问的原因。 

更直接但坦率地说没有多大帮助的答案是：黎曼假设是数论的猜想，它指出非平凡的黎曼 zeta 函数零点全部位于“临界线”σ=1/2 上。 

现在，显然有一些术语需要破解，其中最重要的是“黎曼 zeta 函数”。在复数（即同时具有实部和虚部的数字）上定义的黎曼 zeta 函数基本上是分数的复数幂的无限和。是的，它就像你想象的那样深奥。

无论如何，它可以被评估，而且我们确实知道第一个，哦，十万亿左右的解决方案。但事情是这样的：几乎所有这些对我们来说都是完全无用且无趣的，因为假设的下一个最重要的部分是它所说的“非平凡零”。 

看，事实证明，有一大堆输入的总和计算为零 - 即 ze(s)=0。其中一些并不那么有趣 - 特别是，每当 N/log(N)。

但“粗略”究竟是多“粗略”呢？嗯，这就是黎曼假设要回答的问题。证明每个非平凡零都有 1/2 的实部，并且您已经找到了该估计的误差范围的最佳可能界限。正如我们稍后将看到的，这确实是非常令人兴奋的事情。

突破是什么？

自从伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）首次提出他的同名假设以来，数学家们一直在努力以某种方式证明这一假设，但尽管多年来有不少广为人知的主张，但没有人成功。 

不过，我们所能做的就是解决这个问题。黎曼本人能够证明非平凡零点的实部都在 0 和 1 之间，而且他还知道它们围绕 1/2 线保持镜像对称——这两条信息将问题的规模从“整个实数轴”到“实数轴上 1/2 到 3/4 之间的位”。 ” 

然后，在 1940 年，英国数学家 Albert Ingham 对这个问题做了进一步的研究，证明了实部为 3/4 时可能存在的零数量的上限。尽管进展缓慢，但我们似乎在这个问题上取得了一些进展。

然后……我们又陷入困境了。 “这个[限制]无法降低，这有点离谱，”西北大学数论专业数学教授马克西姆·拉齐维尔 (Maksym Radziwill) 上周告诉《科学》杂志。 “基本上，没有人致力于这个，因为每个人都放弃了。 ”

每个人，除了牛津大学数学研究所数论教授、最近这篇论文的作者之一詹姆斯·梅纳德 (James Maynard) 之外。在 2020 年初的美国数学会会议上，他被一个有趣的想法所震惊：也许可以使用调和分析来解决这个问题，调和分析是一种通过将函数表示为频率来研究函数的数学类型。

这是一次偶然的会面。出席会议的还有麻省理工学院数学教授、该领域的专家拉里·古斯 (Larry Guth)。他也有一种预感，调和分析可能有助于解决黎曼问题，但不幸的是，他“根本不了解解析数论”，他上个月告诉广达。从本质上讲，这是数学上的天作之合：梅纳德拥有理论，古斯拥有工具箱。他们能否找到解决这个 175 年历史问题的方案？ 

嗯……不。最终，事实证明调和分析并不是我们所希望的灵丹妙药——但无论如何，花费大量时间从新的、非正统的角度思考这个问题还是得到了回报。通过将问题翻译成另一种数学语言，两人成功地将其简化为关于矩阵和特征值的问题——“数学家喜欢看到的东西”，古斯告诉广达，“因为矩阵是我们真正理解的东西之一。 ”

现在的目标是找到某些矩阵的特征值可以达到多大的极限——这个过程基本上涉及尝试简化和消除尽可能多的非常复杂的总和。在这种已经非常规的方法中，两人做出了一些令人惊讶的决定：“我们做了一些乍一看完全愚蠢的事情。我们只是拒绝进行标准简化，”梅纳德解释道。 

“在国际象棋中，你称之为策略，”他告诉广达。 “你牺牲一块棋子才能在棋盘上获得更好的位置。 ”

仅仅几个月的时间，两人就将死了：最大特征值的上限——最终，英厄姆在 80 多年前发现的界限得到了改进。

拉齐维尔告诉《科学》杂志：“这实际上可能会重新启动一个长期被忽视的领域。” “我的意思是，可能会有文艺复兴。 ”

为什么这很重要？

如果没有为自己赢得一百万美元，也许很难想象解决黎曼假设会对现实世界产生什么影响。但不要低估它：“黎曼猜想的证明意味着数学家可以使用非常快速的程序来保证找到一个质数，比如说，一百位数字或您想要选择的任何其他数字，”解释道杜·索托伊。

他指出，虽然“找到百位素数听起来就像数针头上的天使一样毫无意义”，但它实际上非常重要——或多或少对我们今天生活的每个部分来说。它们是密码学领域的重要组成部分，而密码学又可以保证几乎所有在线内容的安全——从您的浏览器向您尝试访问的服务器进行自我验证的那一刻起（反之亦然），您就依赖于prime数字以确保您的数据安全。

“每个在互联网上进行交易的企业[……]都依赖于百位素数来保证其商业交易的安全，”杜索托伊写道。 “突然之间，人们对了解黎曼猜想的证明如何有助于理解素数如何在整个数字宇宙中分布产生了商业兴趣。 ”

当然，我们已经远远超前了。温和地说，这一新突破不太可能解决整个假设——对于数学家来说，无论如何，这都不是真正的重点。毕竟，没有人真正认为黎曼假设是错误的，但“证明所提供的不仅仅是一个陈述是正确的，”梅纳德告诉《科学》杂志。 “它让人理解为什么它是真的，所以你有了一些强大的新技术来理解素数。 ”

因此，从表面上看，梅纳德和古斯的结果也许并不是一个巨大的突破，但是，就像假设本身一样，它的含义比它的字面意义更重要。他们使用的策略不仅有可能解开素数论的谜题：数学家们已经开始研究简化动力系统、几何学甚至波动物理学等不同领域的结果和问题的技术。

罗格斯大学数学教授亚历克斯·康托罗维奇（Alex Kontorovich）告诉《科学》杂志，简而言之，这个结果“令人震惊”。 

“有很多新想法可以证明人们将进行多年的挖矿。 ”

论文被发布到预印本服务器 Arxiv。